$x^2+y^2+4x-10y+k=0$ এবং $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ বৃহদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে k এর মান কোনটি?

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করার শর্ত হলো তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব তাদের ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান হবে। অর্থাৎ, যদি দুটি বৃত্তের কেন্দ্র যথাক্রমে \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) হয় এবং তাদের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(r_1\) ও \(r_2\) হয়, তাহলে:

কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(O_1O_2 = r_1 + r_2\)

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণগুলো হলো:

১. \(x^2+y^2+4x-10y+k=0\)

২. \(x^2+y^2-2x-2y-7=0\)

একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\)। এই সমীকরণ থেকে কেন্দ্র \((-g, -f)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2+f^2-c}\) নির্ণয় করা যায়।

প্রথম বৃত্তের জন্য:

\(x^2+y^2+4x-10y+k=0\)

এখানে, \(2g_1 = 4 \implies g_1 = 2\)

\(2f_1 = -10 \implies f_1 = -5\)

\(c_1 = k\)

কেন্দ্র \(O_1 = (-g_1, -f_1) = (-2, 5)\)

ব্যাসার্ধ \(r_1 = \sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1} = \sqrt{2^2+(-5)^2-k} = \sqrt{4+25-k} = \sqrt{29-k}\)

দ্বিতীয় বৃত্তের জন্য:

\(x^2+y^2-2x-2y-7=0\)

এখানে, \(2g_2 = -2 \implies g_2 = -1\)

\(2f_2 = -2 \implies f_2 = -1\)

\(c_2 = -7\)

কেন্দ্র \(O_2 = (-g_2, -f_2) = (1, 1)\)

ব্যাসার্ধ \(r_2 = \sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2} = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-(-7)} = \sqrt{1+1+7} = \sqrt{9} = 3\)

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(O_1O_2\) নির্ণয়:

কেন্দ্র \(O_1 = (-2, 5)\) এবং \(O_2 = (1, 1)\)

দূরত্ব সূত্র \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) ব্যবহার করে:

\(O_1O_2 = \sqrt{(1-(-2))^2 + (1-5)^2}\)

\(O_1O_2 = \sqrt{(1+2)^2 + (-4)^2}\)

\(O_1O_2 = \sqrt{3^2 + 16}\)

\(O_1O_2 = \sqrt{9 + 16}\)

\(O_1O_2 = \sqrt{25}\)

\(O_1O_2 = 5\)

বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করার শর্ত প্রয়োগ:

\(O_1O_2 = r_1 + r_2\)

\(5 = \sqrt{29-k} + 3\)

\(5 - 3 = \sqrt{29-k}\)

\(2 = \sqrt{29-k}\)

উভয় পক্ষকে বর্গ করে:

\(2^2 = (\sqrt{29-k})^2\)

\(4 = 29-k\)

\(k = 29-4\)

\(k = 25\)

সুতরাং, k এর মান হলো 25।